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Cómo una simple pregunta sobre un paseo dominical inventó toda una rama de las matemáticas
En el siglo XVIII, la ciudad de Königsberg (ahora Kaliningrado, Rusia) se construyó a ambas orillas del río Pregel, con dos grandes islas en el medio. Siete puentes conectaban estas cuatro masas de tierra.
Los ciudadanos tenían una pregunta sencilla:¿Es posible caminar por la ciudad cruzando cada uno de los siete puentes exactamente una vez, sin cruzar ningún puente dos veces?
Banco Norte (A)
/ | \
b1 b2 b3
/ | \
Isla | isla
(B)----b4----(C)
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b5 b6 b7
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Banco Sur (D)
7 puentes que conectan 4 masas de tierra
¿Puedes cruzar cada puente exactamente una vez?La gente lo intentó y fracasó durante años. Nadie pudo encontrar una ruta. Pero tampoco nadie pudo demostrar que fuera imposible, hasta que un matemático llamadoLeonhard Eulerasumió el desafío en 1736.
El genio de Euler fue darse cuenta de que el trazado exacto de la ciudad no importaba. Lo que importaba era elestructura de conexiones- qué masas de tierra estaban conectadas a cuáles y mediante cuántos puentes.
Eliminó todos los detalles geográficos y redujo el problema a su esencia:
A (3 puentes) --- B (5 puentes) | | C (3 puentes) --- D (3 puentes) Cada letra = una masa de tierra (vértice) Cada conexión = un puente (borde) Número = cuántos puentes tocan esa masa de tierra
Este fue el nacimiento de lo que hoy llamamosgráfico— un conjunto de vértices (nodos) conectados por aristas. Euler acababa de inventarteoría de grafos.
Euler notó algo crucial en la cantidad de puentes que tocan cada masa de tierra (lo que ahora llamamosgradode cada vértice):
Las cuatro masas continentales tienen un número impar de puentes.Euler demostró que esto hace que el problema sea imposible.
Su razonamiento: si caminas por una masa de tierra (entrando por un puente y saliendo por otro), utilizas puentes.dos a la vez. Entonces, cualquier masa de tierra que no sea su punto inicial o final debe tener uninclusonúmero de puentes. Un camino que cruza cada puente una vez puede tenercomo mucho dosvértices de grado impar (el inicio y el final).
Königsberg tienecuatrovértices de grado impar. Por lo tanto,no existe ninguna solución.
El teorema de Euler nos dio las reglas exactas sobre cuándo es posible un recorrido de "One Stroke":
Cada juego de rompecabezas de un solo golpe, incluidoOne Stroke- se basa en estas reglas. Cuando el algoritmo de generación de procedimientos de One Stroke crea un nuevo rompecabezas, utiliza el teorema de Euler para garantizar matemáticamente que cada rompecabezas tenga al menos una solución.
Cuando juegas un rompecabezas de un solo golpe, estás resolviendo el mismo tipo de problema que resolvió Euler en 1736. Estás practicando teoría de grafos, pero es posible que no lo sepas.
La idea aparentemente sencilla de Euler sobre los puentes lanzó todo un campo de las matemáticas. La teoría de grafos ahora es esencial para:
Todo comenzó con una pregunta sobre siete puentes en una ciudad prusiana y un matemático que vio la elegante estructura escondida debajo.
Es un famoso rompecabezas matemático de 1736. La ciudad de Königsberg tenía siete puentes que conectaban dos islas y dos zonas continentales. La pregunta: ¿puedes caminar por la ciudad cruzando cada puente exactamente una vez? Euler demostró que era imposible porque las cuatro masas terrestres tenían un número impar de puentes.
La solución de Euler se considera el primer teorema de la teoría de grafos, una rama de las matemáticas que ahora es fundamental para la informática, el análisis de redes, el enrutamiento GPS y el diseño de juegos de rompecabezas. Cada juego de rompecabezas de un solo golpe es un descendiente directo de esta prueba de 1736.
Los acertijos de un solo golpe plantean la misma pregunta fundamental que los Siete Puentes: ¿puedes atravesar cada camino exactamente una vez sin volver sobre él? El teorema de Euler proporciona las reglas matemáticas para determinar cuándo esto es posible. Juegos como One Stroke utilizan estas reglas para generar acertijos cuya solución está garantizada.
No. Königsberg es ahora Kaliningrado, Rusia. Dos de los puentes originales fueron destruidos en la Segunda Guerra Mundial y otros han sido reconstruidos. La ciudad moderna tiene un diseño de puente diferente, pero la visión matemática que Euler derivó de los siete originales sigue siendo atemporal.
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