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日曜日の散歩についての単純な質問がどのようにして数学の分野全体を発明したのか
18 世紀、ケーニヒスベルク市 (現在のロシア、カリーニングラード) はプレーゲル川の両岸に建設され、中央に 2 つの大きな島がありました。これら 4 つの陸地を 7 つの橋が繋いでいました。
国民はこんな素朴な疑問を抱いた。どの橋も二度渡らずに、7つの橋をそれぞれ1回ずつ渡り、街を歩くことは可能でしょうか？
ノースバンク(A)
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b1 b2 b3
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島 | 島
(B)----b4----(C)
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b5 b6 b7
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サウスバンク (D)
4 つの陸地を結ぶ 7 つの橋
それぞれの橋を一度だけ渡ることができますか?人々は何年も試みては失敗してきました。誰もルートを見つけることができませんでした。しかし、誰もそれが不可能であることを証明できませんでした - という名前の数学者が現れるまで レオンハルト・オイラー 1736年にこの挑戦に挑戦しました。
オイラーの天才は、都市の正確な配置は重要ではないことに気づいていました。重要だったのは、 接続の構造 — どの大陸がどの大陸とつながっていて、どれだけの橋でつながっていたのか。
彼は地理的な詳細をすべて取り除き、問題を本質に絞り込みました。
A（3ブリッジ） --- B（5ブリッジ） | | C（3ブリッジ） --- D（3ブリッジ） 各文字＝陸塊（頂点） それぞれの接続＝ブリッジ（エッジ） 数 = その陸地に接する橋の数
これが今で言うところの誕生でした。 グラフ — エッジによって接続された頂点 (ノード) のセット。オイラーが発明したばかりだった グラフ理論。
オイラーは、各陸地に接する橋の数 (現在私たちが橋と呼んでいるもの) について重要なことに気づきました。 学位 各頂点の):
4 つの陸地にはすべて奇数の橋があります。 オイラーは、これによって問題が不可能になることを証明しました。
彼の推論: 陸地を歩く場合 (ある橋から入り、別の橋から出る)、橋を使用することになります。 一度に2つ。したがって、開始点または終了点ではない陸地には、 さえ 橋の数。すべての橋を一度渡る道は、 多くても2つ 奇数次の頂点 (開始点と終了点)。
ケーニヒスベルクは 4 奇数次の頂点。したがって、 解決策は存在しません。
オイラーの定理は、「一筆書き」トラバースが可能な場合についての正確なルールを与えてくれました。
すべての一筆書きパズル ゲーム — を含む One Stroke — これらのルールに基づいて構築されています。 One Stroke の手続き型生成アルゴリズムは、新しいパズルを作成するときに、オイラーの定理を使用して、すべてのパズルに少なくとも 1 つの解決策があることを数学的に保証します。
一筆書きパズルをプレイするとき、オイラーが 1736 年に解いたのと同じ種類の問題を解いていることになります。あなたはグラフ理論をやっているのですが、それを知らないだけかもしれません。
橋に関するオイラーの一見単純な洞察は、数学の分野全体を立ち上げました。グラフ理論は現在、次の目的に不可欠です。
すべては、プロイセンの都市にある 7 つの橋と、その下に隠れているエレガントな構造物を見た数学者についての質問から始まりました。
これは 1736 年の有名な数学パズルです。ケーニヒスベルク市には 2 つの島と 2 つの本土地域を結ぶ 7 つの橋がありました。質問: 街を歩いて各橋を 1 回だけ渡れるか?オイラーは、4 つの陸地すべてに奇数の橋があるため、それが不可能であることを証明しました。
オイラーの解は、グラフ理論の第一定理とみなされます。グラフ理論は、現在コンピューター サイエンス、ネットワーク分析、GPS ルーティング、パズル ゲーム デザインの基礎となっている数学の一分野です。すべての一筆書きパズル ゲームは、この 1736 年のプルーフの直接の子孫です。
一筆書きパズルは、セブン ブリッジと同じ基本的な質問をします。つまり、すべての道を引き返さずに 1 回だけ通過できるか?オイラーの定理は、これがいつ可能になるかを決定するための数学的規則を提供します。 One Stroke のようなゲームは、これらのルールを使用して、確実に解けるパズルを生成します。
いいえ、ケーニヒスベルクは現在のロシアのカリーニングラードです。元の橋のうち 2 つは第二次世界大戦で破壊され、他の橋は再建されました。現代の都市には異なる橋のレイアウトがありますが、オイラーが元の 7 つの橋から導いた数学的洞察は時代を超えて残っています。
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